Kurtoz: tanımı, türleri ve önemi

1905 yılında Karl Pearson, bir dereceye kadar eğri anlamına gelen kurtoz’u tanıttı. Bu yazıda tartışıyoruz kurtoz nedir, türleri ve hesaplama formül.

Kurtoz Nedir?

Kurtoz istatistiksel bir ölçüdür. Kurtoz kullanımı, bir veri kümesinin bir özelliğini elde etmenizi sağlar. 

Bir grafik üzerinde çizilen ve verilerin ortalamasından en uzakta olan veriler, eğrinin her iki tarafında kuyruklar oluşturur. Kurtoz kullanmak, kuyruklarda ne kadar veri olduğunu belirlemenizi sağlar. Pozitif bir kurtoz, daha ağır kuyrukluluk ve daha fazla pik olduğunu gösterir. Negatif bir kurtoz, düz ve daha hafif bir kuyruk anlamına gelir. 

Bu nedenle, kurtoz kuyruk hakkında bilgi sağlar, normallikten ayrılmayı tanımlamaya yardımcı olur ve karşılaştırmaya yardımcı olur. Başka bir deyişle, kurtoz, kuyruğun ağırlığını ve kalınlığını ölçen bir göstergedir.

Üç tip kurtoz dağılımı vardır: leptokurtik, mezokurtik ve platikurtik. Şekli, kuyruğu ve zirveyi ölçer ve tanımlarlar. Olasılık dağılımında, bir dağılımın çan şekli olarak adlandırılan normal olandan sapması hakkında bir görüş vermektedir. Bunları aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışacağız.

Düşük ve büyük kurtozlu dağılımları düşünün. İlk durumda, dağılımlar normal olarak dağıtılan verilerden daha az kuyruk verisine sahiptir ve çan eğrisinin kuyruklarını ortalamadan uzağa iter. İkinci durumda, dağılımlar kuyrukları ortalamaya yaklaştıran daha fazla kuyruk verisine sahiptir.

Kurtoz yatırımcılara hangi bilgileri verir? Getiri dağılımının yüksek kurtoz, ortalama yatırım getirisinden uzakta çok fazla fiyat dalgalanması olduğunu göstermektedir. Bu durumda, yatırımcının keskin fiyat dalgalanmalarıyla karşı karşıya kalabileceği ortaya çıktı. Buna aşırı risk denir.

Kurtozu Anlamak

Kurtoz, dağılım kuyruklarının ortalamaya oranını (dağılım eğrisinin merkezi) gösteren bir göstergedir. Örneğin, zilin zirvesini gösteren bazı veriler içeren bir histogramımız var. Normal kurtoz, çoğu veri ortalamanın üç standart sapması içindedir. Bununla birlikte, yüksek kurtozda, kuyruklar normal çan dağılımının üç standart sapmasından daha fazla uzanır.

Kurtoz, bir dağılımın kuyruklarının şeklini genel şekli hakkında tanımlar. Bir dağılımın zirve noktasının bir ölçüsü ile karıştırmayın; Kurtoz “sivri uçluluğu” değil, “kuyruğu” ölçer. Bu nedenle, bir dağılım yüksek kurtoz ile düşük bir zirveye sahip olabilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Formül ve Hesaplama

Kurtoz, bir dağılımın normal olana kıyasla göreceli düzlüğünü veya pikliğini karakterize eder. Negatif bir kurtoz, nispeten düz bir dağılımı gösterir; Tersine, pozitif bir kurtoz nispeten pik bir dağılımı gösterir.

Kurtozu hesaplamak için çeşitli yöntemler vardır, ancak en kolay yol Google E-Tablolar veya Excel formülünü kullanmaktır. Aşağıdaki veri örneklerine sahip olduğunuzu varsayalım: E-tablonuzdaki A2 ile A11 arasındaki hücrelerde 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 4 ve 7. Bu durumda, kurtozu hesaplamak için bu formülü kullanın:

nerede:

n — örnek boyutu;

x_i — x değişkeninin gözlemleri;

x̄ — x değişkeninin ortalaması;

s — örnek standart sapma.

Kurtozun manuel olarak hesaplanması zaman alır, bu nedenle bilgisayar yazılımı kullanmanızı öneririz. A2 ile A11 arasındaki hücrelerdeki verileri temel alan aşağıdaki Google E-Tablolar veya Excel kurtoz formülünü kullanırsanız daha da kolaydır:

=KURT(A2:A11)

Örnek

Aşağıda, Excel çalışma sayfasındaki kurtoz formülünün hesaplanması verilmiştir.

Formül	Tarif	Sonuç
=KURT(A2:A11)	Yukarıdaki veri kümesinin kurtozu	-0.1517996372

Sonuç, eğrinin daha hafif kuyruklarla platikurtik olduğunu gösteren -0.1518’lik bir kurtozdur.

Kurtoz Çeşitleri

Bir veri kümesinin görüntüleyebileceği üç kurtoz kategorisi vardır — mezokurtik, leptokurtik ve platikurtik. Tüm kurtoz ölçümleri normal bir dağılım eğrisi ile karşılaştırılır.

Mesokurtik dağılım nedir?

Mesokurtik bir dağılımda, aykırı değerler ne çok nadirdir ne de çok sıktır. Orta bir kuyruğu vardır. Örneğin, bazen dişi bir bebek fil, ortalama 210 kilo ile 180’den az veya 240 kilodan daha ağır doğar.

Aşırı dağılım değerinin karakteristiğinin normal dağılımın karakteristiğine benzer olduğu ortaya çıktı. Bu durumda, kurtoz = 3 çünkü normal dağılımlarda kurtoz 3 vardır.

Yatırımcı Faydası — mezokurtik dağılıma sahip hisse senetleri ılımlı bir risk seviyesi sunar.

Mesokurtik dağılım örneği

Genellikle, dişi bir bebek fil doğumda yaklaşık 210 kilo ağırlığındadır. Örneğimizde, bilim adamı fillerin doğum ağırlığı dağılımı ile ilgileniyor. Bunu yapmak için, dünya çapındaki rezervlerden ve hayvanat bahçelerinden veri talep ediyor. Sonuç olarak, 400 dişi bebek filin doğum ağırlığı hakkında veri toplar.

Bu veriler yukarıdaki grafikte gösterilmiştir. Gördüğünüz gibi, frekans dağılımı (gri çubuklar) kabaca normal dağılıma (yeşil eğri) karşılık gelir. Bu nedenle, normal dağılım mezokurtiktir.

Bilim adamı numunenin kurtozunu hesaplamaya karar verir: 3.09’dur ve aşırı kurtoz 0.09’dur. Bu nedenle, dağılımın mezokurtik olduğunu düşünüyor.

Platikürtik dağılım nedir?

“Platykurtic” terimi, “platús” un düz anlamına geldiği ve “kurtos” un şişkin anlamına geldiği Yunanca bir kelimedir. Dağılımı ölçmek için kullanılan istatistiksel bir terimdir.

Platikürtik bir dağılım ile, kurtoz normal bir dağılımdan daha azdır. Bu durumda, kurtoz < 3 ve fazla kurtoz < 0.

Seyrek aykırı değerleri gösteren daha düz ve daha ince bir kuyruğu vardır. Bazen, ornitorenk negatif kurtoz olarak adlandırılır, çünkü aşırı kurtoz negatiftir.

Yatırımcı Faydası — Platykurtik dağılıma sahip hisse senetleri, orta dereceden daha düşük bir risk seviyesi sunar.

Platykurtic dağılım örneği

Burada platykurtic’i bir örnekle açıklıyoruz. Bir sosyolog, 14 ila 18 yaşları arasındaki kaç lise öğrencisinin spora düşkün olduğunu inceler. Okulun belirtilen yaşta 400 öğrencisi bulunmaktadır.

Bu veriler yukarıdaki grafikte gösterilmiştir. Gördüğünüz gibi, frekans dağılımı (gri çubuklar) normal bir dağılımı (yeşil eğri) takip etmiyor. Bununla birlikte, kabaca düzgün bir dağılıma (mor eğri) karşılık gelirler. Böylece, tekdüze dağılım platykurtiktir.

Sosyolog, numunenin kurtozunu hesaplamaya karar verir: 1.78 ve aşırı kurtoz 1.22’dir. Bu nedenle, dağılımın platykurtic olduğunu düşünüyor.

Dikkat! Grafikte, dağılımın (kuyrukların) aşırı sağ ve sol kısımlarında, mor eğrinin (tekdüze dağılım) altındaki boşluğun yeşil eğrinin (normal dağılım) altından daha ince olduğunu görebilirsiniz. Bunlar “ince kuyruklar”.

Leptokurtik dağılım nedir?

“Leptokurtik” terimi, “leptós” un dar anlamına geldiği ve “kurtos” un şişkin anlamına geldiği Yunanca bir kelimedir. Leptokurtik’in anlamını hatırlamak için, yağ kuyruğu olan zıplayan bir kanguru hayal edin.

Leptokurtik dağılım çok fazla aykırı değer anlamına gelir, bu yüzden yağ kuyruğu vardır. Normal dağılımdan daha kurtotiktir, bu nedenle kurtozu > 3 ve fazla kurtozu > 0. Bazen, leptokurtoz pozitif kurtoz olarak adlandırılır, çünkü aşırı kurtoz pozitiftir.

Leptokurtik dağılım örneği

Örneğimizde, 4 gökbilimci Dünya ile Draco takımyıldızındaki mavi bir yıldız olan Nu2 Draconis A arasındaki mesafeyi ölçmeye çalışıyor. Her biri mesafeyi 100 kez ölçer ve elde edilen bilgileri ortak bir veri kümesine gönderir.

Bu veriler yukarıdaki grafikte gösterilmiştir. Gördüğünüz gibi, frekans dağılımı (gri çubuklar) normal bir dağılımı (yeşil eğri) takip etmiyor. Bununla birlikte, kabaca bir Laplace dağılımına (mavi eğri) karşılık gelirler. Bu nedenle, Laplace dağılımı leptokurtiktir.

Gökbilimciler numunenin kurtozunu hesaplamaya karar verirler: 6.54 ve fazla kurtoz 3.54’tür. Bu nedenle, dağılımın leptokurtik olduğunu düşünüyorlar.

Dikkat! Grafikte, dağılımın (kuyrukların) aşırı sağ ve sol kısımlarında, mavi eğrinin (Laplace dağılımı) altındaki boşluğun yeşil eğrinin (normal dağılım) altından biraz daha kalın olduğunu görebilirsiniz. Bunlar “yağ kuyrukları”.

Kurtoz Kullanımı

Yatırımcılar, fiyat oynaklığının yatırım riskini ölçmek için kurtozu kullanırlar. Bir yatırımın fiyatının düzenli olarak yaşadığı oynaklık derecesini ölçer.

Bir yatırımcı bu verileri nasıl kullanabilir? Yüksek bir kurtoz, her iki yönde de dalgalanabildiği için iki karşıt faktörü gösterir: büyük bir pozitif veya büyük bir negatif getiri. Bu nedenle, getiri dağılımının yüksek bir kurtozu, yatırımların zaman zaman aşırı getiri sağlayacağı anlamına gelebilir.

Hisse başına ortalama fiyatın 19,75 dolar olduğunu varsayalım. Bu fiyat yaygın ve sık sık dalgalanırsa, çan eğrisinin ağır kuyrukları olacaktır (yüksek kurtoz). Bu tür kuyruklar, hisse senedi fiyatının çok dalgalandığını ve yatırım yaparken dikkate alınması gerektiğini göstermektedir.

Yüksek bir kurtozun aksine, düşük bir kurtoz, daha öngörülebilir bir getiri profilini gösterir, yani daha düşük fon kaybetme riski taşır. Riski azaltmak ve daha güvenli ve daha az değişken bir portföy oluşturmak için, daha düşük kurtozlu yatırımlar aramak çok önemlidir.

Kurtoz ve Diğer Yaygın Ölçümler

Kurtoz, bir olasılık dağılımındaki verilerin ne kadarının ortalamaya karşı kuyruklara karşı merkezlendiğini gösteren istatistiksel bir ölçümdür. Aşağıda yaygın olarak kullanılan bazı kurtozlar verilmiştir:

• Alfa, karşılaştırma endeksine göre fazla getirileri ölçer.
• Beta, daha geniş bir pazara göre hisse senedi volatilitesini ölçer.
• R-karesi, kıyaslamanın açıklayabileceği portföy hareketinin yüzdesini ölçer.
• Sharpe oranı, riske dönüşü karşılaştırır.

Kurtoz, dağılımın tepe noktasını veya düzlüğünü ölçer ve Alfa ve Beta, dağılımın asimetri derecesini ölçer.

R-karesi, regresyon modeli uyumunun doğruluğunu değerlendirmek için (regresyon analizinde) kullanılırken, kurtoz dağılımın şeklini tanımlamak için kullanılır (tanımlayıcı istatistiklerde).

Kurtoz ve Sharpe oranını karşılaştırırsak, birincisi veri kümesinin dağılımını analiz eder ve ikincisi yatırımların etkinliğini değerlendirir. Yatırımcılar, aldıkları getiri seviyesinin ortaya çıkan risk seviyesiyle eşleşip eşleşmediğini görmek için Sharpe Oranını kullanırlar.

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

Yatırımcıların kurtoz hakkında hangi sorularla ilgilendiğini düşünün.

Çarpıklık ve Kurtoz Arasındaki Fark Nedir?

Çarpıklık, dağılımın ortalama hakkındaki göreceli simetrisini ölçer. Simetri için verileri ölçmek için kullanılır. Olumlu, olumsuz ve sıfır çarpıklık olabilir. Çarpıklık katsayısı (CS) = 0 ise, veriler simetriktir. Pozitif çarpıklıkta, kuyruk sağ tarafta daha uzundur. Negatif çarpıklık içindeyken, kuyruk sol tarafta daha uzundur.

Öte yandan, kurtoz normal bir dağılımın kuyrukluluğunu veya pikliğini ölçer. Veri kümesinin ortalamayı aykırı olduğunu gösterir. Ayrıca üç tipi vardır: leptokurtik (> 3), mezokurtik (= 3) ve platikurtik (< 3). Çarpıklıkta, simetriyi ölçeriz; Kurtozda, daha hafif ve daha ağır kuyrukları ölçüyoruz.

Kurtoz Neden Önemlidir?

Kurtoz, finans ve yatırımda önemli bir rol oynar. Veri kümesinin normal dağıtımı izleyip izlemediğini belirlemek için kullanılır. Normal dağılım 3’e eşittir. Farklı dağılımlar arasında ayrım yapmaya yardımcı olur. Leptokurtik’in ince bir zirveye sahip olması gibi, mezokurtik normal dağılımdır ve platikurtik muhtemelen düzdür.

Aşırı Kurtoz Nedir?

Aşırı kurtoz, normal bir dağılım ve kurtozun katsayılarını karşılaştırır. Normal bir dağılımda, kurtoz üçe eşittir. Böylece, aşırı kurtoz üçten büyük veya daha az olacaktır. Bazı modellerde, normal bir dağılım sıfıra eşittir, bu nedenle kurtoz sıfırdan büyük veya daha küçük olacaktır.

Yatırımda aşırı kurtoz, olasılık dağılımı tarafından öngörülen nadir bir olaya bağlı olarak kuyruk riski veya kayıp olasılığıdır. Bu tür olaylar dağılımın gösterdiğinden daha sık meydana gelirse, kuyruklara “yağ” denir.

Kurtozun Veri Analizindeki Kullanım Alanları Nelerdir?

Bir veri kümesinin dağılımını açıklar. Kurtoz, belirli bir dağılımın veri kümesi noktalarının normal olandan ne ölçüde farklı olduğunu gösterir. Bir dağıtımın aşırı değerler içerip içermediğini belirlemek için de kullanabilirsiniz.

Sonuç

Kurtoz, bir veri kümesinin özelliklerini tanımlayan istatistiksel bir ölçüdür. Olasılık dağılımının merkeze değil, kuyruklara ne kadar düştüğünü gösterir. Finans, ekonomi, veri analizi ve daha fazlası gibi alanlarda çeşitli kullanımları vardır. Yatırımcılar gelecekteki yatırımlar için değerli veriler elde etmek için kullanabilirler, çünkü kuyruk riskini anlamanıza izin verir. Ancak, fon kaybetme riskini önlemek için alınan verileri iki kez kontrol etmenin çok önemli olduğunu her zaman unutmayın.